Question

【题目】如图，在正方体中，作棱锥，其中点在侧棱所在直线上，，，是的中点.

（1）证明：平面;

（2）求以为轴旋转所围成的几何体体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

(1)本题首先可以连接交于并连接，然后根据是的中位线得出，即可根据线面平行的判定证得平面；

(2)本题首先可以过作的垂线并令垂足为，然后根据题意得出几何体的形状，再然后求出与的长，最后根据圆锥的体积公式即可得出结果.

(1)如图，连接交于，连接，

因为四边形是正方形，所以为中点，

因为为的中点，所以是的中位线，，

因为包含于平面，不包含于平面，

所以平面，

(2)如图，过作的垂线，垂足为，则以为轴旋转所围成的几何体是以为半径并且分别以、为高的两个圆锥的旋转体，

因为侧棱底面，包含于底面，所以，

因为，，所以，

因为，所以，

所以以为轴旋转所围成的几何体体积为.