Question

（本小题满分13分）
如图，已知椭圆的焦点为、，离心率为，过点的直线交椭圆于、两点．

（1）求椭圆的方程；
（2）①求直线的斜率的取值范围；
②在直线的斜率不断变化过程中，探究和是否总相等？若相等，请给出证明，若不相等，说明理由．

Answer 1

（1）（2）（3）

试题分析：解：（1）由已知条件知，，得，又，
所以椭圆的方程为 …………4分
（2）直线的方程为，
联立，得 ………6分
① 由于直线与椭圆相交，所以，
解得直线的斜率的取值范围是 ………8分
②和总相等．证明：设，则
 …………9分
所以

 ………11分
所以 ………13分
点评：对于圆锥曲线的方程的求解，一般要通过其性质得到a,b,c的关系式，进而化简运算得到结论，同时在研究直线与圆锥曲线的位置关系的时候，一般都是采用的设而不求的思想，结合韦达定理和判别式来进行，同时得到解决。对于角的相等问题，一般利用其斜率来说明即可。属于中档题。