题目内容

如图，点P在⊙O的直径AB的延长线上，PQ切⊙O于Q，连结AQ、BQ，∠APQ的平分线分别交QA、QB于M、N.

求证：MN2=2AM·BN.

证明：∵PQ是切线，∴∠3=∠A.又∠1=∠2，∴∠QMN=∠QNM.∴QM=QN.

又AB是直径，∴MN=2QM.

∵∠1=∠2，

∴,            ①

.              ②

①×②得=1（QP2=PB·PA），

∴QM2=BN·AM.又MN=2QM，

∴MN2=2BN·AM.

练习册系列答案
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如图，成都市准备在南湖的一侧修建一条直路EF，另一侧修建一条观光大道，大道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数y=Asin(ωx+
2π3
)，(A＞0，ω＞0)，x∈[-4，0]时的图象，且图象的最高点为B（-1，3），大道的中间部分为长1.5km的直线段CD，且CD∥EF．大道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧DE．
（1）求曲线段FBC的解析式，并求∠DOE的大小；
（2）若南湖管理处要在圆弧大道所对应的扇形DOE区域内修建如图所示的水上乐园PQMN，问点P落在圆弧DE上何处时，水上乐园的面积最大？

如图，已知PA垂直于⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，点C为圆周上异于A、B的一点．

(1)若一个n面体中有m个面是直角三角形，则称这个n面体的直度为．那么四面体P－ABC的直度为多少？说明理由；

(2)在四面体P－ABC中，AP＝AB＝1，设．若动点M在四面体P－ABC表面上运动，并且总保持PB⊥AM．设为动点M的轨迹围成的封闭图形的面积关于角的函数，求取最大值时，二面角A－PB－C的正切值．

如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O1，O分别为正方形A1B1C1D1与正方形ABCD的中点，且AB＝3，A1A＝4，经过O1，O的平面与AB，DC、D1C1分别交于点M、N、R，又P为B1B上点．

(1)求二棱锥P－MNR体积的最大值；

(2)在三棱锥P－MNR体积取最大值的条件下，求直线B1C与DR所成角的余弦值．

(本小题13分) 如图所示, PQ为平面的交线, 已知二面角为直二面角,  , ∠BAP＝45°.

（1）证明: BC⊥PQ;

（2）设点C在平面内的射影为点O, 当k取何值时, O在平面ABC内的射影G恰好为△ABC的重心？

（3）当时, 求二面角B－AC－P的大小.

 
(理)如图a所示，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路，点P所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ(0°＜θ＜90°)，且sinθ=，点P到平面α的距离PH=0．4(km)．沿山脚原有一段笔直的公路AB可供利用．从点O到山脚修路的造价为a万元／km，原有公路改建费用为万元／km．当山坡上公路长度为l km(1≤l≤2)时，其造价为(l2+1)a万元已知OA⊥AB，PB⊥AB，AB=1．5(km)，OA=(km)．

(1)在AB上求一点D，使沿折线PDAO修建公路的总造价最小；

(2)对于(1)中得到的点D，在DA上求一点E，使沿折线PDEO修建公路的总造价最小；

(3)在AB上是否存在两个不同的点D′，E′，使沿折线．PD′E′O修建公路的总造价小于(2)中得到的最小总造价?证明你的结论．

a)

第19题图

(文)如图b所示，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∠ADC=90°，△ABC为等边三角形，且AA1=AD=DC=2．

(1)求AC1与BC所成角的余弦值；

(2)求二面角C1-BD-C的大小；

(3)设M是BD上的点，当DM为何值时，D1M⊥平面A1C1D?并证明你的结论．

第19题图

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