Question

如图，成都市准备在南湖的一侧修建一条直路EF，另一侧修建一条观光大道，大道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数y=Asin(ωx+

2π

3

)，(A＞0，ω＞0)，x∈[-4，0]时的图象，且图象的最高点为B（-1，3），大道的中间部分为长1.5km的直线段CD，且CD∥EF．大道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧DE．
（1）求曲线段FBC的解析式，并求∠DOE的大小；
（2）若南湖管理处要在圆弧大道所对应的扇形DOE区域内修建如图所示的水上乐园PQMN，问点P落在圆弧DE上何处时，水上乐园的面积最大？

Answer 1

分析：（1）根据图象，确定函数的最大值，周期，从而可得曲线段FBC的解析式，当x=0时，y=|OC|=

3 3

2

，从而可求∠DOE的大小；
（2）由（1）知OD=3，连接OP，设∠POE=θ，0＜θ＜

π

3

，进而可表示水上乐园PQMN面积，化简函数，根据角的范围，即可求得结论．

解答：解：（1）由图象知A=3，

T

4

=3，∴T=12=

2π

ω

，∴ω=

π

6

，
∴曲线段FBC的解析式为y=3sin(

π

6

x+

2π

3

)，(-4≤x≤0)．…（3分）
当x=0时，y=|OC|=

3 3

2

，
又CD=

3

2

，∴∠COD=

π

6

，∴∠DOE=

π

3

．…（5分）
（2）由（1）知OD=3，连接OP，设∠POE=θ，0＜θ＜

π

3

，
△PON中，OP=3，PN=3sinθ，ON=3cosθ，…（6分）
△QOM中，QM=PN=3sinθ，OM=

3

sinθ，从而MN=3cosθ-

3

sinθ，…（8分）
则水上乐园PQMN面积S=3sinθ(3cosθ-

3

sinθ)=9sinθcosθ-3

3

sin2θ=

9

2

sin2θ-3

3

×

1-cos2θ

2

=

9

2

sin2θ+

3 3

2

cos2θ-

3 3

2

=3

3

sin(2θ+

π

6

)-

3 3

2

，
∵0＜θ＜

π

3

，∴当2θ+

π

6

=

π

2

，θ=

π

6

时，Smax=

3 3

2

．…（11分）
答：（1）曲线段FBC的解析式为y=3sin(

π

6

x+

2π

3

)，(-4≤x≤0)，∠DOE=

π

3

；
（2）当P点在圆弧DE中点时，水上乐园的面积最大，最大值为

3 3

2

km2．…（12分）

点评：本题考查三角函数解析式的求解，考查四边形面积的计算，考查三角函数的化简，确定函数解析式是关键．