Question

13．已知数列{a_n}中a₂=3a₁（a₁≠0）且满足S_n+1=4S_n-3S_n-1，其中（n≥2）
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）当首项a₁=1时，求S_n．

Answer 1

分析 （1）通过对S_n+1=4S_n-3S_n-1变形可知S_n+1-S_n=3（S_n-S_n-1），即a_n+1=3a_n（n≥2），进而可知数列{a_n}是以公比为3的等比数列；
（2）通过（1）可知a_n=3^n-1，利用等比数列的求和公式计算即得结论．

解答 （1）证明：∵S_n+1=4S_n-3S_n-1，
∴S_n+1-S_n=3（S_n-S_n-1），
∴a_n+1=3a_n（n≥2），
又∵a₂=3a₁（a₁≠0），
∴数列{a_n}是以公比为3的等比数列；
（2）解：由（1）可知a_n=a₁•3^n-1，
又∵首项a₁=1，
∴a_n=3^n-1，
∴S_n=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$．

点评 本题考查等比数列的判定及求和公式，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．