题目内容

若x∈[0，+∞），则下列不等式恒成立的是（　　）
分析：确定不等式不恒成立，列举反例即可，确定不等式恒成立，利用导数知识进行解决．
解答：解：对于A，取x=3，e3＞1+32，所以不等式不恒成立；
对于B，构造函数h（x）=cosx-1+
1
2
x2，h′（x）=-sinx+x，h″（x）=cosx+1≥0，∴h′（x）在[0，+∞）上单调增
∴h′（x）≥h′（0）=0，∴函数h（x）=cosx-1+
1
2
x2在[0，+∞）上单调增，∴h（x）≥0，∴cosx≥1-
1
2
x2，即不等式恒成立；
对于C，x=π时，tanπ=0，所以不等式不恒成立；
对于D，取x=3，ln（1+3）＜3-
9
8
，所以不等式不恒成立；
故选B．
点评：本题考查大小比较，考查构造函数，考查导数知识的运用，确定函数的单调性是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
若x≥0，y≥0，且x+2y=1，则2x+3y2的最小值是
0.75
0.75
．
已知二次函数f（x）=ax2+x（a∈R且a≠0），
（1）当0＜a＜
1
2
时，f（sinx）的最大值为
5
4
，求f（x）的最小值．
（2）若x∈[0，
π
2
]时，|f（sinx）|≤1恒成立，求a的范围．
对于函数f（x）=sinx+cosx，给出下列四个命题：
①存在α∈(0，
π
2
)，使f(α)=
4
3
； 
②存在α∈(0，
π
2
)，使f（x+α）=f（x+3α）恒成立； 
③存在φ∈R，使函数f（x+?）的图象关于y轴对称；
④函数f（x）的图象关于点(
3π
4
，0)对称； 
⑤若x∈[0，
π
2
]，则f(x)∈[1，
2
]．
其中正确命题的序号是
①③④⑤
①③④⑤
．
下列说法正确的是（　　）
已知f（x）=2cos2
wx
2
+
3
sinwx+a的图象上相邻两对称轴的距离为
π
2
．
（1）若x∈R，求f（x）的递增区间；
（2）若x∈[0，
π
2
]时，f（x）的最大值为4，求a的值．

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