Question

已知f（x）=2cos²

wx

2

+

3

sinwx+a的图象上相邻两对称轴的距离为

π

2

．
（1）若x∈R，求f（x）的递增区间；
（2）若x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最大值为4，求a的值．

Answer 1

分析：利用两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由f（x）的图象上相邻的两条对称轴的距离是

π

2

，得到周期为π，进而求出w的值，确定出函数解析式，
（1）由正弦函数的递增区间[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]（k∈Z），即可求出f（x）的递增区间；
（2）由确定出的函数解析式，根据x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质即可求出函数的最大值，即可得到a的值．

解答：解：已知f（x）=

3

sinwx+coswx+a+1=2sin（wx+

π

6

）+a+1
由

T

2

=

π

2

，则T=π=

2π

w

，∴w=2
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）+a+1
（1）令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ
则-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ
故f（x）的增区间是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，

π

6

≤2x+

π

6

≤

7

6

π
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴f_max（x）=2+a+1=4，∴a=1．

点评：此题考查了两角和的正弦函数公式，正弦函数的单调性，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．