Question

对于函数f（x）=sinx+cosx，给出下列四个命题：
①存在α∈(0，

π

2

)，使f(α)=

4

3

； 
②存在α∈(0，

π

2

)，使f（x+α）=f（x+3α）恒成立； 
③存在φ∈R，使函数f（x+?）的图象关于y轴对称；
④函数f（x）的图象关于点(

3π

4

，0)对称； 
⑤若x∈[0，

π

2

]，则f(x)∈[1，

2

]．
其中正确命题的序号是

①③④⑤

．

Answer 1

分析：利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式，化简函数y=sinx+cosx为

2

sin（x+

π

4

），确定函数的值域，判断①的真假； 找出特殊值判断②；根据函数的对称轴判断③的真假；将 （

3

4

π，0）代入函数解析式成立，说明④正确．⑤若x∈[0，

π

2

]，则有 （x+

π

4

）∈[

π

4

，

3π

4

]，可得 f(x)∈[1，

2

]，故⑤正确．

解答：解：函数y=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），①α∈（0，

π

2

）时 y∈（1，

2

]，因为

4

3

∈（1，

2

]，所以为真命题；
②f（x+α）=f（x+3α）说明2α是函数的周期，函数f（x）的周期为2π，故α=π，显然为假命题；
③存在θ∈R使函数f（x+θ）的图象关于y轴对称，
函数f（x）是周期函数，并且有对称轴，适当平移即可满足题意，为真命题；
④函数f（x）的图象关于点 （

3

4

π，0）对称，当x=

3π

4

时，f（

3π

4

）=0，满足题意，为真命题，
⑤若x∈[0，

π

2

]，则有 （x+

π

4

）∈[

π

4

，

3π

4

]，∴f(x)∈[1，

2

]，故⑤为真命题，
故答案为 ①③④⑤．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数，正弦函数的定义域及值域，正弦函数的对称性，以及三角函数的周期性及其求法，要求学生掌握正弦函数的图象及性质，能够充分利用已知条件，灵活利用三角函数的恒等变形把函数解析式化为一个角的正弦函数是解题的关键，锻炼了学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题．