Question

若定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），f（x）在（0，+∞）上的图象如图所示，则不等式f（x）f′（x）＞0的解集是

1. A.
   （-∞，-1）∪（0，1）
2. B.
   （-1，0）∪（1，+∞）
3. C.
   （-∞，-1）∪（1，+∞）
4. D.
   （-1，0）∪（0，1）

Answer 1

B
分析：本题考查的知识点是函数奇偶性及单调性，由f（x）为偶函数，我们可以根据偶函数的性质--偶函数的图象关于Y轴对称，判断出函数图象在Y轴左侧的情况，然后结合导数的意义，不难求出等式f（x）f′（x）＞0的解集．
解答：解：由图可知：
f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，
则在区间（0，+∞）上f'（x）＞0．
又由f（x）为偶函数．
则f（x）在区间（-∞，0）上单调递减，
则在区间（-∞，0）上f'（x）＜0．
以由f（-1）=f（1）=0可得
在区间（-∞，-1）上f'（x）＜0，f（x）＞0．
在区间（-1，0）上f'（x）＜0，f（x）＜0．
在区间（0，1）上f'（x）＞0，f（x）＜0．
在区间（1，+∞）上f'（x）＞0，f（x）＞0．
故不等式f（x）f′（x）＞0的解集为（-1，0）∪（1，+∞）
故选B
点评：利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，f′（x）＞0（或f′（x）＜0）仅是f（x）在某个区间上为增函数（或减函数），反之，f（x）在某个区间上为增函数（或减函数），则f′（x）＞0（或f′（x）＜0）．