Question

（本题8分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，
PA＝AB＝2，M, N分别为PA, BC的中点．

（Ⅰ）证明：MN∥平面PCD；
（Ⅱ）求MN与平面PAC所成角的正切值．

Answer 1

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．

(I)取AD的中点E，连接NE，ME，易证：.
(II)找出（做）线面角是解题的关键.因为平面PAC平面ABCD，所以过N作NF⊥AC于F，连接MF .所以NF⊥平面PAC,∴∠FMN是MN与平面PAC所成的角.

（Ⅰ）取PD的中点E，连接ME, CE．
∵M, N分别为PA, BC的中点，
∴，，∴，
∴MNCE是平行四边形，∴MN∥CE，……………2分
∵CEÍ平面PCD，MNË平面PCD，
∴MN∥平面PCD．…………………………………2分
（Ⅱ）作NF⊥AC于F，连接MF．
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥NF，又∵PA∩AC＝A，
∴NF⊥平面PAC，∴∠FMN是MN与平面PAC所成的角．………2分
在Rt△MFN中，，，，
，
∴．……………………………………………2分