Question

（本小题满分12分）四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上.若AB=,
（Ⅰ）求证：平面；   
（Ⅱ）若E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.

Answer 1

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）AE与平面PDB所成的角的大小为.

本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题。
（Ⅰ）欲证平面AEC⊥平面PDB，根据面面垂直的判定定理可知在平面AEC内一直线与平面PDB垂直，而根据题意可得AC⊥平面PDB；
（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，根据线面所成角的定义可知∠AEO为AE与平面PDB所的角，在Rt△AOE中求出此角即可．
解：以D为原点建立空间直角坐标系，
设    则，
（Ⅰ）∵，∴，
∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB，
∴平面.---------6分
（Ⅱ）当E为PB的中点时，，
设AC∩BD=O，连接OE，
由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，
∵，
∴，
∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.---------12分