Question

（本题满分14分）如图，已知平面平面，与分别是棱长为1与2的正三角形，//，四边形为直角梯形，//，，点为的重心，为中点，，

（Ⅰ）当时，求证：//平面
（Ⅱ）若直线与所成角为，试求二面角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）二面角的余弦值.

（1）只须证：连接AG并延长交CE于P点，连接PB，PD，易证NPDF为平行四边形，然后根据平行线分分段成比例关系证DM//PF即可.
(2) 由于本小题建系比较容易，所以易采用空间向量法求二面角即可.先求出二面角两个面的法向量，然后根据法向量的夹角与二面角相等或互补进行计算.
（Ⅰ）连延长交于，

因为点为的重心，所以
又，所以，所以//；
因为//，//，所以平面//平面，
又与分别是棱长为1与2的正三角形，
为中点，为中点, //,又//，
所以//，得四点共面
//平面
（Ⅱ）平面平面，易得平面平面，
以为原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，
则，设，
，
，
因为与所成角为，所以，
得，，，
设平面的法向量，则，取，
面的法向量，
所以二面角的余弦值.