Question

【题目】如图，在三棱柱中，侧面是菱形，，是棱的中点，，在线段上，且.

（1）证明：面；

（2）若，面面，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）连接交于点，连接，利用三角形相似证明，然后证明面．

（2）过作于，以为原点，，，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标，

不妨设，求出面的一个法向量，面的一个法向量，然后利用空间向量的数量积求解即可．

解：（1）连接交于点，连接．

因为，所以，又因为，所以，所以，

又面，面，所以面.

（2）过作于，因为，所以是线段的中点．

因为面面，面面，所以面．连接，

因为是等边三角形，是线段的中点，所以.

如图以为原点，，，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标，

不妨设，则，，，，，

由，得，的中点，，.

设面的一个法向量为，则，即，

得方程的一组解为，即.

面的一个法向量为，则，

所以二面角的余弦值为.