Question

【题目】在直角坐标系中中，曲线的参数方程为（为参数，）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.

（1）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最大值；

（2）若曲线上所有的点均在直线的右下方，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）将直线极坐标方程转化成直角坐标，设出P点坐标，利用点到直线的距离公式及辅助角公式，根据余弦函数的性质，即可求得点P到直线的距离的最大值；

（2）由题意可知：，恒成立，利用辅助角公式，只需，即可求得的取值范围.

（1）由，得,

化成直角坐标方程得,

∴直线的方程为，

依题意，设，

则到直线的距离，

当，即，时，，

故点到直线的距离的最大值为.

（2）因为曲线上的所有点均在直线的右下方，

，恒成立，即（其中）恒成立，

∴，又，解得.

故取值范围.