Question

13．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两焦点分别为F₁，F₂，点D是椭圆C上一动点当△DF₁F₂的面积取得最大值1时，△DF₁F₂为直角三角形．
（1）椭圆C的方程．
（2）已知点P是椭圆C上的一点，则过点P（x₀，y₀）的切线的方程为$\frac{x{x}_{0}}{{a}^{2}}$+$\frac{y{y}_{0}}{{b}^{2}}$=1．过直线l：x=2上的任意点M引椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，求证：直线AB恒过定点．

Answer 1

分析 （1）当D在椭圆的短轴端点时，△DF₁F₂的面积取得最大值，得b，c，a，
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（2，t），则直线AM：$\frac{{x}_{1}x}{2}+{y}_{1}y=1$，BM：$\frac{{x}_{2}x}{2}+{y}_{2}y=1$，
M（2，t）在直线AM、BM上，得x₁+ty₁=1，x₂+ty₂=1．直线AB的方程为：x+ty=1

解答 解：（1）当D在椭圆的短轴端点时，△DF₁F₂的面积取得最大值．
依据$\left\{\begin{array}{l}{bc=1}\\{b=c}\end{array}\right.$，解得b=c=1，a²=b²+c²=2，
∴椭圆C的方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（2，t），
则直线AM：$\frac{{x}_{1}x}{2}+{y}_{1}y=1$，BM：$\frac{{x}_{2}x}{2}+{y}_{2}y=1$，
∵M（2，t）在直线AM、BM上，
∴x₁+ty₁=1，x₂+ty₂=1．
∴直线AB的方程为：x+ty=1，显然直线过定点（1，0）．

点评 本题考查了椭圆的切线问题，及直线过定点的处理，属于中档题．