题目内容
（12分）已知椭圆
的中心在原点，焦点在
轴上，点
、
分别是椭圆的左、右焦点，在椭圆的右准线上的点
，满足线段
的中垂线过点．直线
：
为动直线，且直线与椭圆交于不同的两点
、
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若在椭圆上存在点
，满足
（
为坐标原点），
求实数
的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当取何值时，
的面积最大，并求出这个最大值．
【答案】
（Ⅰ）所求椭圆方程为
。
（Ⅱ）实数
的取值范围是
．
（Ⅲ）当
时，
的面积最大，最大值为
．
【解析】解：（Ⅰ）设椭圆
的方程为
，半焦距为
，依题意有
解得
．
所求椭圆方程为． ……………………………3分
（Ⅱ）由
，得
．
设点
、
的坐标分别为
、
，则
……4分
．
（1）当
时，点、关于原点对称，则
．
（2）当
时，点、不关于原点对称，则
，
由
，得
即
点
在椭圆上，有
，
将①、②两式，得
．
，
，则且．
综合（1）、（2）两种情况，得实数的取值范围是．
………………9分
【注】 此题可根据图形得出当时，当、两点重合时
．
如果学生由此得出的取值范围是可酌情给分．
（Ⅲ）
，点
到直线
的距离
，
的面积
．
………………………… 10分
由①有
，代入上式并化简，得
．
，
．
……………………… 11分
当且仅当
，即时，等号成立．
当时，的面积最大，最大值为．
……………………… 12分
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