Question

如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．
（Ⅰ）证明PA//平面BDE；
（Ⅱ）求二面角B—DE—C的平面角的余弦值；
（Ⅲ）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？证明你的结论．

Answer 1

（Ⅰ）略
（Ⅱ）二面角B—DE—C的余弦值为
（Ⅲ）略

解：（Ⅰ）以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、
y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则A（2，0，0），
P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0），

设 是平面BDE的一个法向量，

则由 
∵
（Ⅱ）由（Ⅰ）知是平面BDE的一个法向量，
又是平面DEC的一个法向量．
设二面角B—DE—C的平面角为，由图可知
∴ 故二面角B—DE—C的余弦值为
（Ⅲ）∵ ∴
假设棱PB上存在点F，使PB⊥平面DEF，设，
则，
由 ∴
即在棱PB上存在点F，PB，使得PB⊥平面DEF