Question

【题目】如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，，且底面.

(1)证明：平面平面；

(2)若二面角为，求与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）先由底面，得到，再在平行四边形中，得到，利用线面垂直的判定定理，证得平面，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面平面.

（2）由（1）知，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.

（1）证明：因为底面，所以，

因为平行四边形中，，所以，

因为，所以平面，

而平面，所以平面平面.

（2）由（1）知，平面，

所以即为二面角的平面角，即，

分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，

设，则,

则,

所以，

设平面的法向量为，

则，令，得，

所以与平面所成角的正弦值为.