Question

设函数f（x）=1-e^-x．
（Ⅰ）证明：当x＞-1时，f（x）≥

x

x+1

；
（Ⅱ）设当x≥0时，f（x）≤

x

ax+1

，求a的取值范围．

Answer 1

（1）当x＞-1时，f（x）≥

x

x+1

当且仅当e^x≥1+x
令g（x）=e^x-x-1，则g'（x）=e^x-1
当x≥0时g'（x）≥0，g（x）在[0，+∞）是增函数
当x≤0时g'（x）≤0，g（x）在（-∞，0]是减函数
于是g（x）在x=0处达到最小值，因而当x∈R时，g（x）≥g（0）时，即e^x≥1+x
所以当x＞-1时，f（x）≥

x

x+1

（2）由题意x≥0，此时f（x）≥0
当a＜0时，若x＞-

1

a

，则

x

ax+1

＜0，f（x）≤

x

ax+1

不成立；
当a≥0时，令h（x）=axf（x）+f（x）-x，则
f（x）≤

x

ax+1

当且仅当h（x）≤0
因为f（x）=1-e^-x，所以h'（x）=af（x）+axf'（x）+f'（x）-1=af（x）-axf（x）+ax-f（x）
（i）当0≤a≤

1

2

时，由（1）知x≤（x+1）f（x）
h'（x）≤af（x）-axf（x）+a（x+1）f（x）-f（x）
=（2a-1）f（x）≤0，
h（x）在[0，+∞）是减函数，h（x）≤h（0）=0，即f（x）≤

x

ax+1

（ii）当a＞

1

2

时，由（i）知x≥f（x）
h'（x）=af（x）-axf（x）+ax-f（x）≥af（x）-axf（x）+af（x）-f（x）=（2a-1-ax）f（x）
当0＜x＜

2a-1

a

时，h'（x）＞0，所以h'（x）＞0，所以h（x）＞h（0）=0，即f（x）＞

x

ax+1

综上，a的取值范围是[0，

1

2

]