Question

18．已知x，y为实数，且（x+y）（x-2y）=1，则2x²+y²的最小值为$\frac{2}{3}$（$\sqrt{3}$+1）．

Answer 1

分析 换元，利用基本不等式，即可求出2x²+y²的最小值．

解答 解：设m=x+y，n=x-2y，则x=$\frac{1}{3}$（2m+n），y=$\frac{1}{3}$（m-n），mn=1，
∴2x²+y²=2[$\frac{1}{3}$（2m+n）]²+[$\frac{1}{3}$（m-n）]²=m²+$\frac{1}{3}$n²+$\frac{2}{3}$≥2$\sqrt{{m}^{2}×\frac{1}{3}{n}^{2}}$+$\frac{2}{3}$=$\frac{2}{3}$（$\sqrt{3}$+1），
当且仅当m²=$\frac{1}{3}$n²时，取等号，
∴2x²+y²的最小值为$\frac{2}{3}$（$\sqrt{3}$+1）．
故答案为：$\frac{2}{3}$（$\sqrt{3}$+1）．

点评 本题考查求2x²+y²的最小值，考查基本不等式的运用，正确转化是关键．