Question

15．设函数f（x）=xlnx．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若f（x）≥a（x-1）（x≥1）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导f′（x）=lnx+1，从而判断导数的正负以确定函数的单调性，
（2）原不等式可化为xlnx≥a（x-1），从而讨论x=1与x＞1时不等式成立的条件即可．

解答 解：（1）∵f（x）=xlnx，
∴f′（x）=lnx+1，
∴当x∈（0，e^-1）时，f′（x）＜0；
当x∈（e^-1，+∞）时，f′（x）＞0；
故函数f（x）在（0，e^-1）上是减函数，在（e^-1，+∞）上是增函数；
（2）f（x）≥a（x-1）（x≥1）可化为
xlnx≥a（x-1），
当x=1时，0≥0，显然成立；
当x＞1时，不等式可化为a≤$\frac{xlnx}{x-1}$，
令g（x）=$\frac{xlnx}{x-1}$，g′（x）=$\frac{（lnx+1）（x-1）-xlnx}{（x-1）^{2}}$=$\frac{x-lnx-1}{（x-1）^{2}}$，
令h（x）=x-lnx-1，h′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
故h（x）=x-lnx-1在（1，+∞）上是增函数，
故x-lnx-1＞1-0-1=0，
故g′（x）=$\frac{x-lnx-1}{（x-1）^{2}}$＞0；
故g（x）=$\frac{xlnx}{x-1}$在（1，+∞）上是增函数；
且$\underset{lim}{x→{1}^{+}}$$\frac{xlnx}{x-1}$=1，
故a≤1．

点评 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了极限的求法．