Question

20．若直线2ax-by+2=0（a＞b＞0）始终平分圆x²+y²+2x-4y+1=0的周长，则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值是4，此时a=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由题意知，直线过圆心，即-2a-2b+2=0，即a+b=1，再将a+b=1代入所求关系式，利用基本不等式即可求得答案．

解答 解：由于直线2ax-by+2=0（a，b＞0），始终平分圆x²+y²+2x-4y+1=0的周长，
故直线2ax-by+2=0必过x²+y²+2x-4y+1=0的圆心（-1，2），
则-2a-2b+2=0，即a+b=1，
则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）（a+b）=2+$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$≥2+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{b}}$=4，
当且仅当a=b=$\frac{1}{2}$时，取得最小值4．
故答案为：4，$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查直线和圆的位置关系，考查基本不等式的运用，将a+b=1代入所求关系式是关键，属于基础题．