Question

3．设二次函数f（x）=x²+mx+p在点（2，f（2））处的切线方程为3x-y-2=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）用数学归纳法证明：$\frac{1}{\sqrt{f′（1）}}$+$\frac{1}{\sqrt{f′（2）}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{f′（n）}}$≤$\sqrt{2n-1}$对一切n∈N^*恒成立．

Answer 1

分析 （1）二次函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为3x-y-2=0．可得切线的斜率k=3，切点为（2，4）．利用f′（2）=4+m=3，f（2）=4，即可得出．

（2）f′（x）=2x-1，可得$\frac{1}{\sqrt{{f}^{′}（n）}}$=$\frac{1}{\sqrt{2n-1}}$．要证明$\frac{1}{\sqrt{f′（1）}}$+$\frac{1}{\sqrt{f′（2）}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{f′（n）}}$≤$\sqrt{2n-1}$对一切n∈N^*恒成立．即证明：$1+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2n-1}}$$≤\sqrt{2n-1}$．
利用数学归纳法证明即可．

解答 （1）解：∵二次函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为3x-y-2=0．
∴切线的斜率k=3，切点为（2，4）．
f′（x）=2x+m，∴f′（2）=4+m=3，解得m=-1．
又f（2）=4-2+p=4，解得p=2．
∴f（x）=x²-x+2．
（2）证明：∵f′（x）=2x-1，
∴$\frac{1}{\sqrt{{f}^{′}（n）}}$=$\frac{1}{\sqrt{2n-1}}$．
证明$\frac{1}{\sqrt{f′（1）}}$+$\frac{1}{\sqrt{f′（2）}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{f′（n）}}$≤$\sqrt{2n-1}$对一切n∈N^*恒成立．
即证明：$1+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2n-1}}$$≤\sqrt{2n-1}$．
下面利用数学归纳法证明：
①当n=1时，左边=1=右边，成立；
②假设当n=k（k∈N^*）时，$1+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2k-1}}$$≤\sqrt{2k-1}$．
则当n=k+1时，左边=$1+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2k-1}}$+$\frac{1}{\sqrt{2k+1}}$$≤\sqrt{2k-1}$+$\frac{1}{\sqrt{2k+1}}$＜$\sqrt{2k-1}$+$\frac{2}{\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k+1}}$=$\sqrt{2k-1}$+$（\sqrt{2k+1}-\sqrt{2k-1}）$=$\sqrt{2k+1}$．
∴当n=k+1时，结论成立．
综上可得：对一切n∈N^*，$1+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2n-1}}$$≤\sqrt{2n-1}$恒成立．
即$\frac{1}{\sqrt{f′（1）}}$+$\frac{1}{\sqrt{f′（2）}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{f′（n）}}$≤$\sqrt{2n-1}$对一切n∈N^*恒成立．

点评 本题考查了利用导数研究切线方程、数学归纳法的应用，考查了猜想归纳推理能力与计算能力，属于中档题．