题目内容

在正四面体ABCD中，点Q在线段AD上运动，当
QB
•
QC
取得最小值时，点Q的位置位于（　　）
分析：设
AQ
=t
AD
，则
QB
=-t
AD
+
AB
，
QC
=-t
AD
+
AC
，利用数量积公式，化简，再配方，即可求得结论．
解答：解：设
AQ
=t
AD
，则
QB
=-t
AD
+
AB
，
QC
=-t
AD
+
AC

∴
QB
•
QC
=（-t
AD
+
AB
）•（-t
AD
+
AC
）=t2
AD
2-t（
AD
•
AC
+
AD
•
AB
）+
AB
•
AC

设|
AB
|=a，则
QB
•
QC
=a2[（t-
1
2
）2+
1
4
]
当t=
1
2
时，
QB
•
QC
取得最小值，即点Q的位置位于AD的中点．
点评：本题考查向量的数量积运算，考查学生的计算能力，正确利用数量积公式是关键．
练习册系列答案
相关题目
在正四面体ABCD中，E、F分别是BC、AD中点，则异面直线AE与CF所成的角是
 
．（用反三角值表示）
已知有关正三角形的一个结论：“在正三角形ABC中，若D是BC的中点，G是三角形ABC内切圆的圆心，则
AG
GD
=2”．若把该结论推广到正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），则有结论：“在正四面体ABCD中，若M是正三角形BCD的中心，O是在正四面体ABCD内切球的球心，则
AO
OM
=
3
3
”．
某同学使用类比推理得到如下结论：
（1）同一平面内，三条不同的直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b，类比出：空间中，三条不同的直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b；
（2）a，b∈R，a-b＞0则a＞b，类比出：a，b∈C，a-b＞0则a＞b；
（3）以点（0，0）为圆心，r为半径的圆的方程是x2+y2=r2，类比出：以点（0，0，0）为球心，r为半径的球的方程是x2+y2+z2=r2；
（4）正三角形ABC中，M是BC的中点，O是△ABC外接圆的圆心，则
AO
OM
=2，类比出：在正四面体ABCD中，若M是△BCD的三边中线的交点，O为四面体ABCD外接球的球心，则
AO
OM
=3．
其中类比的结论正确的个数是（　　）
在正四面体ABCD中，点E为棱AD的中点，则异面直线AB与CE所成角的大小为
arccos
3
6
arccos
3
6
．
在正四面体ABCD中，E，F分别为BC，AD的中点，则异面直线AE与CF所成角的余弦值是
 
．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网