题目内容

（文科）设A、B分别是直线y=
2
5
5
x和y=-
2
5
5
x上的两个动点，并且|
AB
|=
20
，满足
OP
=
OA
+
OB
．（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）若点D的坐标为（0，16），M、N是曲线C上的两个动点，且
DM
=λ
DN
（λ≠1），求实数λ的取值范围．
（1）设P（x，y），
由题可令A(x1，
2
5
5
x1)，B(x2，-
2
5
5
x2)，
∵
OP
=
OA
+
OB
，
∴
x=x1+x2
y=
2
5
5
(x1-x2).
即
x1+x2=x
x1-x2=
5
2
y.

又∵|
AB
|=
20
，
∴(x1-x2)2+
4
5
(x1+x2)2=20，即有
5
4
y2+
4
5
x2=20．
∴轨迹C的方程为
x2
25
+
y2
16
=1
（2）设N（s，t），M（x，y），
则由
DM
=λ
DN
可得，（x，y-16）=λ（s，t-16），故x=λs，y=16+λ（t-16），
∵N、M在曲线C上，
∴
s2
25
+
t2
16
=1
λ2s2
25
+
(λt-16λ+16)2
16
=1

消去s得，
λ2(16-t2)
16
+
(λt-16λ+16)2
16
=1．
∵λ≠0且λ≠1，
∴t=
17λ-15
2λ

又∵|t|≤4，
∴|
17λ-15
2λ
|≤4，解得
3
5
≤λ≤
5
3
（λ≠1）
故实数λ的取值范围为
3
5
≤λ≤
5
3
（λ≠1）．
练习册系列答案
相关题目
已知平面内两定点F1(0，-
5
)、F2(0，
5
)，动点P满足条件：|
PF1
|-|
PF2
|=4，设点P的轨迹是曲线E，O为坐标原点．
（I）求曲线E的方程；
（II）若直线y=k（x+1）与曲线E相交于两不同点Q、R，求
OQ
•
OR
的取值范围；
（III）（文科做）设A、B两点分别在直线y=±2x上，若
AP
=λ
PB
(λ∈[
1
2
，3])，记xA、xB分别为A、B两点的横坐标，求|xA•xB|的最小值．
（理科做）设A、B两点分别在直线y=±2x上，若
AP
=λ
PB
(λ∈[
1
2
，3])，求△AOB面积的最大值．
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学校 文科均分 理科均分
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某丙说：A校全体学生的均分可以比B校的高．
你同意他们的观点吗？我不同意
甲
甲
的观点，请举例
设x、y分别为A、B两校文科学生所占比例，满足y≥
18
19
x+
2
19
，即可以推翻甲的结论．比如：x=0.1，y=0.2，则两校全体学生均分相等．
设x、y分别为A、B两校文科学生所占比例，满足y≥
18
19
x+
2
19
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．

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（II）若直线y=k（x+1）与曲线E相交于两不同点Q、R，求数学公式的取值范围；
（III）（文科做）设A、B两点分别在直线y=±2x上，若数学公式，记xA、xB分别为A、B两点的横坐标，求|xA•xB|的最小值．
（理科做）设A、B两点分别在直线y=±2x上，若数学公式，求△AOB面积的最大值．
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|-|
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（II）若直线y=k（x+1）与曲线E相交于两不同点Q、R，求
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=λ
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(λ∈[
1
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（理科做）设A、B两点分别在直线y=±2x上，若
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=λ
PB
(λ∈[
1
2
，3])，求△AOB面积的最大值．

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