题目内容

已知平面内两定点F1(0，-
5
)、F2(0，
5
)，动点P满足条件：|
PF1
|-|
PF2
|=4，设点P的轨迹是曲线E，O为坐标原点．
（I）求曲线E的方程；
（II）若直线y=k（x+1）与曲线E相交于两不同点Q、R，求
OQ
•
OR
的取值范围；
（III）（文科做）设A、B两点分别在直线y=±2x上，若
AP
=λ
PB
(λ∈[
1
2
，3])，记xA、xB分别为A、B两点的横坐标，求|xA•xB|的最小值．
（理科做）设A、B两点分别在直线y=±2x上，若
AP
=λ
PB
(λ∈[
1
2
，3])，求△AOB面积的最大值．
分析：（I）由题意，可知动点P的轨迹是焦点在y轴上的双曲线的上半支，其中c=
5
，2a=4，由此能求出曲线E的方程．
（II）设Q（x1，y1），R（x2，y2），（y1，y2＞0），由
y2
4
-x2=1
y=k(x+1)
，得(1-
4
k2
)y2+
8
k
y-8=0，当1-
4
k2
=0，不符合题意，故1-
4
k2
≠0．由此入手能够求出求
OQ
•
OR
的取值范围．
（III）（文科做）由曲线E的方程是
y2
4
-x2=1(y≥2)，知双曲线的两条渐近线方程为y=±2x．由
AP
=λ
PB
，且λ＞0，知点A，B均在x轴上方，设A（xA，2xA），B（xB，-2xB），由
AP
=λ
PB
，得P点的坐标为（
xA+λxb
1+λ
，
2(xA-λxB)
1+λ
），将P点坐标代入
y2
4
-x2=1中，得xA•xB=
(1+λ)2
-4λ
=-
1
4
(λ+
1
λ
+2)．由此能求出|xA•xB|的最小值．
（理科做））由曲线E的方程是
y2
4
-x2=1(y≥2)，知双曲线的两条渐近线方程为y=±2x．由
AP
=λ
PB
，且λ＞0，知点A，B均在x轴上方，设A（m，2m），B（-n，2n），m＞0．n＞0．由
AP
=λ
PB
，得点P的坐标为（
m-λn
1+λ
，
2(m+λn)
1+λ
）．将P的从标代入
y2
4
-x2=1中，得mn=
(1+λ)2
4λ
．设∠AOB=2θ，由S△AOB=
1
2
|OA|•|OB|•sin2θ，由此能求出△ABC面积的最大值．
解答：解：（I）由题意，可知动点P的轨迹是焦点在y轴上的双曲线的上半支，
其中c=
5
，2a=4，
∴b=1，
∴曲线E的方程是
y2
4
-x2=1(y≥2)．
（II）设Q（x1，y1），R（x2，y2），（y1，y2＞0），
由
y2
4
-x2=1
y=k(x+1)
，得(1-
4
k2
)y2+
8
k
y-8=0，
当1-
4
k2
=0，即k=±2时，显然不符合题意，
∴1-
4
k2
≠0．
∴
△=32-
64
k2
＞0
y1+y1=
8k
4-k2
＞0
y1•y2=
8k2
4-k2
＞0
，
解得
2
＜k＜2．
∵x1•x2=
y1•y2
k2
-
y1+y2
k
+1=1，
∴
OQ
•
OR
=x1x2+y1y2
=1+
8k2
4-k2

=1-
8(k2-4)+32
k2-4

=-7+
32
4-k2
．
∵
2
＜k＜2，
∴0＜4-k2＜2，
∴
1
4-k2
＞
1
2
，
∴
OQ
•
OR
∈(9，+∞)．
（III）（文科做）∵曲线E的方程是
y2
4
-x2=1(y≥2)，
∴双曲线的两条渐近线方程为y=±2x．
∵
AP
=λ
PB
，且λ＞0，
∴点P必内分线段AB，
故点A，B均在x轴上方，
不妨设xA＞0，xB＜0，
即A（xA，2xA），B（xB，-2xB），
由
AP
=λ
PB
，得P点的坐标为（
xA+λxb
1+λ
，
2(xA-λxB)
1+λ
），
将P点坐标代入
y2
4
-x2=1中，
化简，得xA•xB=
(1+λ)2
-4λ
=-
1
4
(λ+
1
λ
+2)．
∴|xA•xB|=
1
4
(λ+
1
λ
+2)，λ∈[
1
3
，2]
∵λ+
1
λ
≥2，当且仅当λ=1时，等号成立．
∴|xA•xB|min=1．
（理科做））∵曲线E的方程是
y2
4
-x2=1(y≥2)，
∴双曲线的两条渐近线方程为y=±2x．
∵
AP
=λ
PB
，且λ＞0，
∴点P必内分线段AB，
故点A，B均在x轴上方，
设A（m，2m），B（-n，2n），m＞0．n＞0．
由
AP
=λ
PB
，得点P的坐标为（
m-λn
1+λ
，
2(m+λn)
1+λ
）．
将点P的从标代入
y2
4
-x2=1中，
化简，得mn=
(1+λ)2
4λ
．
设∠AOB=2θ，
∵tan(
π
2
-θ)=2，
∴tanθ=
1
2
，sin2θ=
4
5
，
∵|OA|=
5
m，|OB|=
5
n，
∴S△AOB=
1
2
|OA|•|OB|•sin2θ
=2mn
=
1
2
(λ+
1
λ
)+1．
∵λ∈[
1
3
，2]，
∴λ+
1
λ
∈[2，
10
3
]，
∴S△AOB∈ [2，
8
3
]．
∴△ABC面积的最大值为
8
3
．
点评：本题主要考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答
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给出以下5个命题：
①曲线x2-（y-1）2=1按
a
=(1，-2)平移可得曲线（x+1）2-（y-3）2=1；
②设A、B为两个定点，n为常数，|
PA
|-|
PB
|=n，则动点P的轨迹为双曲线；
③若椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，P是该椭圆上的任意一点，延长F1P到点M，使|F2P|=|PM|，则点M的轨迹是圆；
④A、B是平面内两定点，平面内一动点P满足向量
AB
与
AP
夹角为锐角θ，且满足 |
PB
| |
AB
| +
PA
•
AB
=0，则点P的轨迹是圆（除去与直线AB的交点）；
⑤已知正四面体A-BCD，动点P在△ABC内，且点P到平面BCD的距离与点P到点A的距离相等，则动点P的轨迹为椭圆的一部分．
其中所有真命题的序号为
 
．
已知平面内一点P与两个定点F1(-
3
 ， 0)和F2(
3
 ， 0)的距离的差的绝对值为2．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程C；
（Ⅱ）设过（0，-2）的直线l与曲线C交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点），求直线l的方程．
已知平面内动点P到两定点F1，F2的距离的和等于常数2a，关于动点P的轨迹正确的说法是
 
．
①点P的轨迹一定是椭圆；                
②2a＞|F1F2|时，点P的轨迹是椭圆；
③2a=|F1F2|时，点P的轨迹是线段F1F2；  
④点P的轨迹一定存在；
⑤点P的轨迹不一定存在．
已知平面内两定点F1(0，-
5
)、F2(0，
5
)，动点P满足条件：|
PF1
|-|
PF2
|=4，设点P的轨迹是曲线E，O为坐标原点．
（I）求曲线E的方程；
（II）若直线y=k（x+1）与曲线E相交于两不同点Q、R，求
OQ
•
OR
的取值范围；
（III）（文科做）设A、B两点分别在直线y=±2x上，若
AP
=λ
PB
(λ∈[
1
2
，3])，记xA、xB分别为A、B两点的横坐标，求|xA•xB|的最小值．
（理科做）设A、B两点分别在直线y=±2x上，若
AP
=λ
PB
(λ∈[
1
2
，3])，求△AOB面积的最大值．

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