题目内容
已知平面内两定点F1(0，-
)、F2(0，
)，动点P满足条件：|
|-|
|=4，设点P的轨迹是曲线E，O为坐标原点．
（I）求曲线E的方程；
（II）若直线y=k（x+1）与曲线E相交于两不同点Q、R，求
•
的取值范围；
（III）（文科做）设A、B两点分别在直线y=±2x上，若
=λ
(λ∈[
，3])，记xA、xB分别为A、B两点的横坐标，求|xA•xB|的最小值．
（理科做）设A、B两点分别在直线y=±2x上，若
=λ
(λ∈[
，3])，求△AOB面积的最大值．
| 5 |
| 5 |
| PF1 |
| PF2 |
（I）求曲线E的方程；
（II）若直线y=k（x+1）与曲线E相交于两不同点Q、R，求
| OQ |
| OR |
（III）（文科做）设A、B两点分别在直线y=±2x上，若
| AP |
| PB |
| 1 |
| 2 |
（理科做）设A、B两点分别在直线y=±2x上，若
| AP |
| PB |
| 1 |
| 2 |
分析：（I）由题意，可知动点P的轨迹是焦点在y轴上的双曲线的上半支，其中c=
，2a=4，由此能求出曲线E的方程．
（II）设Q（x1，y1），R（x2，y2），（y1，y2＞0），由
，得(1-
)y2+
y-8=0，当1-
=0，不符合题意，故1-
≠0．由此入手能够求出求
•
的取值范围．
（III）（文科做）由曲线E的方程是
-x2=1(y≥2)，知双曲线的两条渐近线方程为y=±2x．由
=λ
，且λ＞0，知点A，B均在x轴上方，设A（xA，2xA），B（xB，-2xB），由
=λ
，得P点的坐标为（
，
），将P点坐标代入
-x2=1中，得xA•xB=
=-
(λ+
+2)．由此能求出|xA•xB|的最小值．
（理科做））由曲线E的方程是
-x2=1(y≥2)，知双曲线的两条渐近线方程为y=±2x．由
=λ
，且λ＞0，知点A，B均在x轴上方，设A（m，2m），B（-n，2n），m＞0．n＞0．由
=λ
，得点P的坐标为（
，
）．将P的从标代入
-x2=1中，得mn=
．设∠AOB=2θ，由S△AOB=
|OA|•|OB|•sin2θ，由此能求出△ABC面积的最大值．
| 5 |
（II）设Q（x1，y1），R（x2，y2），（y1，y2＞0），由
|
| 4 |
| k2 |
| 8 |
| k |
| 4 |
| k2 |
| 4 |
| k2 |
| OQ |
| OR |
（III）（文科做）由曲线E的方程是
| y2 |
| 4 |
| AP |
| PB |
| AP |
| PB |
| xA+λxb |
| 1+λ |
| 2(xA-λxB) |
| 1+λ |
| y2 |
| 4 |
| (1+λ)2 |
| -4λ |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| λ |
（理科做））由曲线E的方程是
| y2 |
| 4 |
| AP |
| PB |
| AP |
| PB |
| m-λn |
| 1+λ |
| 2(m+λn) |
| 1+λ |
| y2 |
| 4 |
| (1+λ)2 |
| 4λ |
| 1 |
| 2 |
解答：解：（I）由题意，可知动点P的轨迹是焦点在y轴上的双曲线的上半支，
其中c=
，2a=4，
∴b=1，
∴曲线E的方程是
-x2=1(y≥2)．
（II）设Q（x1，y1），R（x2，y2），（y1，y2＞0），
由
，得(1-
)y2+
y-8=0，
当1-
=0，即k=±2时，显然不符合题意，
∴1-
≠0．
∴
，
解得
＜k＜2．
∵x1•x2=
-
+1=1，
∴
•
=x1x2+y1y2
=1+
=1-
=-7+
．
∵
＜k＜2，
∴0＜4-k2＜2，
∴
＞
，
∴
•
∈(9，+∞)．
（III）（文科做）∵曲线E的方程是
-x2=1(y≥2)，
∴双曲线的两条渐近线方程为y=±2x．
∵
=λ
，且λ＞0，
∴点P必内分线段AB，
故点A，B均在x轴上方，
不妨设xA＞0，xB＜0，
即A（xA，2xA），B（xB，-2xB），
由
=λ
，得P点的坐标为（
，
），
将P点坐标代入
-x2=1中，
化简，得xA•xB=
=-
(λ+
+2)．
∴|xA•xB|=
(λ+
+2)，λ∈[
，2]
∵λ+
≥2，当且仅当λ=1时，等号成立．
∴|xA•xB|min=1．
（理科做））∵曲线E的方程是
-x2=1(y≥2)，
∴双曲线的两条渐近线方程为y=±2x．
∵
=λ
，且λ＞0，
∴点P必内分线段AB，
故点A，B均在x轴上方，
设A（m，2m），B（-n，2n），m＞0．n＞0．
由
=λ
，得点P的坐标为（
，
）．
将点P的从标代入
-x2=1中，
化简，得mn=
．
设∠AOB=2θ，
∵tan(
-θ)=2，
∴tanθ=
，sin2θ=
，
∵|OA|=
m，|OB|=
n，
∴S△AOB=
|OA|•|OB|•sin2θ
=2mn
=
(λ+
)+1．
∵λ∈[
，2]，
∴λ+
∈[2，
]，
∴S△AOB∈ [2，
]．
∴△ABC面积的最大值为
．
其中c=
| 5 |
∴b=1，
∴曲线E的方程是
| y2 |
| 4 |
（II）设Q（x1，y1），R（x2，y2），（y1，y2＞0），
由
|
| 4 |
| k2 |
| 8 |
| k |
当1-
| 4 |
| k2 |
∴1-
| 4 |
| k2 |
∴
|
解得
| 2 |
∵x1•x2=
| y1•y2 |
| k2 |
| y1+y2 |
| k |
∴
| OQ |
| OR |
=1+
| 8k2 |
| 4-k2 |
=1-
| 8(k2-4)+32 |
| k2-4 |
=-7+
| 32 |
| 4-k2 |
∵
| 2 |
∴0＜4-k2＜2，
∴
| 1 |
| 4-k2 |
| 1 |
| 2 |
∴
| OQ |
| OR |
（III）（文科做）∵曲线E的方程是
| y2 |
| 4 |
∴双曲线的两条渐近线方程为y=±2x．
∵
| AP |
| PB |
∴点P必内分线段AB，
故点A，B均在x轴上方，
不妨设xA＞0，xB＜0，
即A（xA，2xA），B（xB，-2xB），
由
| AP |
| PB |
| xA+λxb |
| 1+λ |
| 2(xA-λxB) |
| 1+λ |
将P点坐标代入
| y2 |
| 4 |
化简，得xA•xB=
| (1+λ)2 |
| -4λ |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| λ |
∴|xA•xB|=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| λ |
| 1 |
| 3 |
∵λ+
| 1 |
| λ |
∴|xA•xB|min=1．
（理科做））∵曲线E的方程是
| y2 |
| 4 |
∴双曲线的两条渐近线方程为y=±2x．
∵
| AP |
| PB |
∴点P必内分线段AB，
故点A，B均在x轴上方，
设A（m，2m），B（-n，2n），m＞0．n＞0．
由
| AP |
| PB |
| m-λn |
| 1+λ |
| 2(m+λn) |
| 1+λ |
将点P的从标代入
| y2 |
| 4 |
化简，得mn=
| (1+λ)2 |
| 4λ |
设∠AOB=2θ，
∵tan(
| π |
| 2 |
∴tanθ=
| 1 |
| 2 |
| 4 |
| 5 |
∵|OA|=
| 5 |
| 5 |
∴S△AOB=
| 1 |
| 2 |
=2mn
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| λ |
∵λ∈[
| 1 |
| 3 |
∴λ+
| 1 |
| λ |
| 10 |
| 3 |
∴S△AOB∈ [2，
| 8 |
| 3 |
∴△ABC面积的最大值为
| 8 |
| 3 |
点评：本题主要考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答
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