Question

已知平面内两定点，动点P满足条件：，设点P的轨迹是曲线E，O为坐标原点．
（I）求曲线E的方程；
（II）若直线y=k（x+1）与曲线E相交于两不同点Q、R，求的取值范围；
（III）（文科做）设A、B两点分别在直线y=±2x上，若，记x_A、x_B分别为A、B两点的横坐标，求|x_A•x_B|的最小值．
（理科做）设A、B两点分别在直线y=±2x上，若，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

解：（I）由题意，可知动点P的轨迹是焦点在y轴上的双曲线的上半支，
其中c=，2a=4，
∴b=1，
∴曲线E的方程是．
（II）设Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），（y₁，y₂＞0），
由，得，
当，即k=±2时，显然不符合题意，
∴．
∴，
解得．
∵，
∴
=
=
=-7+．
∵，
∴0＜4-k²＜2，
∴，
∴．
（III）（文科做）∵曲线E的方程是，
∴双曲线的两条渐近线方程为y=±2x．
∵，且λ＞0，
∴点P必内分线段AB，
故点A，B均在x轴上方，
不妨设x_A＞0，x_B＜0，
即A（x_A，2x_A），B（x_B，-2x_B），
由，得P点的坐标为（），
将P点坐标代入中，
化简，得=．
∴，
∵，当且仅当λ=1时，等号成立．
∴|x_A•x_B|_min=1．
（理科做））∵曲线E的方程是，
∴双曲线的两条渐近线方程为y=±2x．
∵，且λ＞0，
∴点P必内分线段AB，
故点A，B均在x轴上方，
设A（m，2m），B（-n，2n），m＞0．n＞0．
由，得点P的坐标为（）．
将点P的从标代入中，
化简，得．
设∠AOB=2θ，
∵tan，
∴，
∵，
∴
=2mn
=．
∵，
∴，
∴．
∴△ABC面积的最大值为．
分析：（I）由题意，可知动点P的轨迹是焦点在y轴上的双曲线的上半支，其中c=，2a=4，由此能求出曲线E的方程．
（II）设Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），（y₁，y₂＞0），由，得，当，不符合题意，故．由此入手能够求出求的取值范围．
（III）（文科做）由曲线E的方程是，知双曲线的两条渐近线方程为y=±2x．由，且λ＞0，知点A，B均在x轴上方，设A（x_A，2x_A），B（x_B，-2x_B），由，得P点的坐标为（），将P点坐标代入中，得=．由此能求出|x_A•x_B|的最小值．
（理科做））由曲线E的方程是，知双曲线的两条渐近线方程为y=±2x．由，且λ＞0，知点A，B均在x轴上方，设A（m，2m），B（-n，2n），m＞0．n＞0．由，得点P的坐标为（）．将P的从标代入中，得．设∠AOB=2θ，由，由此能求出△ABC面积的最大值．
点评：本题主要考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答