Question

7．直线mx+2ny+8=0平分圆C；x²+y²-4x+2y+3=0的周长，则由点（m，n）向圆所作的切线长的最小值是（　　）

• A． $\frac{7\sqrt{2}}{2}$
• B． 7$\sqrt{2}$
• C． $\frac{3\sqrt{10}}{2}$
• D． 3$\sqrt{10}$

Answer 1

分析 圆的方程化为标准方程，圆心坐标代入直线mx+2ny+8=0，可得点（m，n）在直线l：x-y+4=0，过C（2，-1），作l的垂线，垂足设为D，则过D作圆C的切线，切点设为E，则切线长DE最短，从而可得结论．

解答 解：圆C：x²+y²-4x+2y+3=0可化为（x-2）²+（y+1）²=2，圆心坐标为C（2，-1），
代入直线mx+2ny+8=0得：2m-2n+8=0，即点（m，n）在直线l：x-y+4=0，
过C（2，-1），作l的垂线，垂足设为D，则过D作圆C的切线，切点设为E，则切线长DE最短，
于是有CE=$\sqrt{2}$，CD=$\frac{|2+1+4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{7}{\sqrt{2}}$，
∴由勾股定理得：DE=$\sqrt{\frac{49}{2}-2}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{10}$．
故选：C．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的切线长的计算，确定切线长DE最短是关键．