Question

（2012•山东）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于（2，1）时，

OP

的坐标为

（2-sin2，1-cos2）

．

Answer 1

分析：设滚动后圆的圆心为O'，切点为A，连接O'P．过O'作与x轴正方向平行的射线，交圆O'于B（3，1），设∠BO'P=θ，则根据圆的参数方程，得P的坐标为（2+cosθ，1+sinθ），再根据圆的圆心从（0，1）滚动到（2，1），算出θ=

3π

2

-2，结合三角函数的诱导公式，化简可得P的坐标为（2-sin2，1-cos2），即为向量

OP

的坐标．

解答：解：设滚动后的圆的圆心为O'，切点为A（2，0），连接O'P，
过O'作与x轴正方向平行的射线，交圆O'于B（3，1），设∠BO'P=θ
∵⊙O'的方程为（x-2）²+（y-1）²=1，
∴根据圆的参数方程，得P的坐标为（2+cosθ，1+sinθ），
∵单位圆的圆心的初始位置在（0，1），圆滚动到圆心位于（2，1）
∴∠AO'P=2，可得θ=

3π

2

-2
可得cosθ=cos（

3π

2

-2）=-sin2，sinθ=sin（

3π

2

-2）=-cos2，
代入上面所得的式子，得到P的坐标为（2-sin2，1-cos2）
∴

OP

的坐标为（2-sin2，1-cos2）．
故答案为：（2-sin2，1-cos2）

点评：本题根据半径为1的圆的滚动，求一个向量的坐标，着重考查了圆的参数方程和平面向量的坐标表示的应用等知识点，属于中档题．