Question

15．已知函数f（x）=2cos（$\frac{π}{2}$-x）sinx+（sinx+cosx）²．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位，得到函数y=g（x）的图象，求$g（\frac{π}{6}）$的值．

Answer 1

分析 （1）将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；
（2）根据三角函数的图象平移变换规律，求出g（x）的解析式，在求$g（\frac{π}{6}）$的值．

解答 解：函数f（x）=2cos（$\frac{π}{2}$-x）sinx+（sinx+cosx）²．
化简得：f（x）=2sinx•sinx+1+2sinxcosx
=2sin²x+sin2x+1
=2（$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{2}$cos2x）+sin2x+1
=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+2
由正弦函数的图象及性质．
可得：2x-$\frac{π}{4}$∈[$2πk-\frac{π}{2}$，$2kπ+\frac{π}{2}$]是单调增区间，即$2πk-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤$2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z．
解得：$kπ-\frac{π}{8}$≤x≤$kπ+\frac{3π}{8}$，
所以：函数f（x）的单调递增区间是[$kπ-\frac{π}{8}$，$kπ+\frac{3π}{8}$]，（k∈Z）
       （2）由（1）可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+2，把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）+2的图象，再把得到的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位，得到g（x）=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{12}$）+2的图象．
∴$g（\frac{π}{6}）$=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{6}+\frac{π}{12}$）+2=$\sqrt{2}$sin$\frac{π}{4}$+2=3
所以$g（\frac{π}{6}）$的值为：3．

点评 本题考查了三角函数的图象及性质的运用和化简能力．三角函数的图象平移变换规律．属于中档题．