Question

7．若a_n是（1+x）ⁿ展开式中含x²项的系数，则$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$）=2．

Answer 1

分析 首先求出展开式中含x²项的系数，然后求出$\frac{1}{{a}_{n}}$，根据式子特点，采用裂项求和得到$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$，然后求极限．

解答 解：由题意，a_n是（1+x）ⁿ展开式中含x²项的系数，所以${a}_{n}={C}_{n}^{2}=\frac{n（n-1）}{2}$，
所以$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{2}{n（n-1）}=2（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$，
所以$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$）=$\underset{lim}{n→∞}$2（1$-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$…+$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$）=$\underset{lim}{n→∞}$2（1-$\frac{1}{n}$）=2；
故答案为：2．

点评 本题考查了二项展开式的特征项系数的求法以及数列的极限；关键是由已知正确求出数列的通项公式，正确利用裂项求和，然后求极限．