Question

【题目】已知函数，若关于的方程有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是_________.

Answer 1

【答案】

【解析】

方程有四个不相等的实数根，即方程有四个不相等的实数根，则或有四个不相等的实数根，结合图象利用分类讨论与的根的情况，其中当时分别构造函数与分析，最后由转化思想将函数有两个零点转化为小于0构造不等式求得答案.

方程有四个不相等的实数根，即方程有四个不相等的实数根，则或有四个不相等的实数根，

因为函数，

对方程的根分析，令，

由图象分析可知，当时，必有一根，

当时，令，则，所以函数单调递增，故，所以当时，方程无根，

故方程只有1个根，那么方程应有3个根，

对方程的根分析，令，

由图象分析可知，当时，必有一根，

当时，方程应有2两个不等的实根，其等价于方程有2个不等的实根，

令，则，且其在内有两个零点，

显然当，函数单调递增，不满足条件，则；

令，则函数在区间上单调递减，在区间 单调递增；

所以函数在取得极小值，同时也为最小值，，

函数若要有两个零点，则，

综上所述，实数的取值范围是.

故答案为：