Question

）如图，在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB=AA₁，点D是A₁B₁的中点，点F是AB的中点，点E在A₁C₁上，且DE⊥AE。
（1）证明B₁F//平面ADE；
（2）证明平面ABC₁⊥平面C₁DF；
（3）求直线AD和平面ABC₁所成角的正弦值。

Answer 1

（1）略 （2）略 （3）

(I)关键证明：B₁F//AD.
(2)证明：AB平面CDF.
(3) 过点D作DH垂直CF于点H，则DH平面ABC.连接AH，则HAD是AD和平面ABC所成的角,是解题的关键。
（1）证明: 如图所示，在正三棱柱中, D是的中点，点F是AB的中点，所以,且，所以四边形是平行四边形，所以, AD在平面ADE内,不在平面ADE内, 故.              （4分）
（2）证明:如图所示，F是AB的中点，连接DF、DC、CF，由正三棱柱ABC- ABC的性质及D是AB的中点知，      ,又CDDF=D，所以AB平面CDF，而AB∥AB，所以AB平面CDF，又AB平面ABC，故平面AB C平面CDF。
（3）解: 过点D作DH垂直CF于点H，则DH平面ABC.连接AH，则HAD是AD和平面ABC所成的角。由已知AB=A A，不妨设
A A=，则AB=2，DF=，D C=，CF=，AD==，DH==—，所以 sinHAD==。即直线AD和平面AB C所成角的正弦值为。