Question

【题目】已知函数.

（1）若在上是减函数，求的取值范围；

（2）设，，若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

(1)由题意结合函数单调性的定义得到关于a的表达式，结合指数函数的性质确定的取值范围即可；

(2)利用换元法将原问题转化为二次方程根的分布问题，然后求解实数的取值范围即可.

（1）由题设，若在上是减函数，

则任取，，且，都有，即成立.

∵

.

又在上是增函数，且，

∴由，得，

即，且.

∴只须，解.

由，，且，知，

∴，即，

∴.

所以在上是减函数，实数的取值范围是.

（2）由题知方程有且只有一个实数根，

令，则关于的方程有且只有一个正根.

若，则，不符合题意，舍去；

若，则方程两根异号或有两个相等的正根.

方程两根异号等价于解得；

方程有两个相等的正根等价于解得；

综上所述，实数的取值范围为.