题目内容
在数列{an}中，a1=1，an+1=
（n∈N*）．（Ⅰ）求a2，a3，a4；
（Ⅱ）猜想an；（不用证明）
（Ⅲ）若数列bn=
，求数列{bn}的前n项和sn．
【答案】分析：（Ⅰ）在an+1=
（n∈N*）中令n=1求出a2，令n=2求出a3，令n=3求出a4．
（Ⅱ）由（Ⅰ）应猜想：an=
．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：bn=
=
=2（
-
），裂项后化简整理即可．
解答：解：（Ⅰ）∵a1=1，an+1=
∴a2=
=
，a3=
=
，a4=
=
．
（Ⅱ）猜想：an=
．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：bn=
=
=2（
-
）
从而Sn=b1+b2+…+bn
=2[（1-
）+（
-
）+…+（
-
）]=2（1-
）=
点评：本题考查数列递推公式的应用，归纳的思想，裂项法数列求和．属于常规题．
（n∈N*）中令n=1求出a2，令n=2求出a3，令n=3求出a4．（Ⅱ）由（Ⅰ）应猜想：an=
．（Ⅲ）由（Ⅱ）知：bn=
=
=2（
-
），裂项后化简整理即可．解答：解：（Ⅰ）∵a1=1，an+1=
∴a2=
=
，a3=
=
，a4=
=
．（Ⅱ）猜想：an=
．（Ⅲ）由（Ⅱ）知：bn=
=
=2（
-
）从而Sn=b1+b2+…+bn
=2[（1-
）+（
-
）+…+（
-
）]=2（1-
）=
点评：本题考查数列递推公式的应用，归纳的思想，裂项法数列求和．属于常规题．
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，并且对任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=
（n∈N*）．
}的前n项和为Tn，证明：
．