Question

已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若对于任意的,有恒成立，求的取值范围.

Answer 1

（1）当k>0时，的单调递增区间是（）和；单调减区间是;
当k<0时，的单调递减区间是（）和；单调增区间是
（2）

试题分析：（1）由题意可得
令，得.
当k>0时，的情况如下

x	()		(,k)	k
	+	0	—	0	+
	↗		↘	0	↗

所以，的单调递增区间是（）和；单调减区间是;
当k<0时，的情况如下

x	()	k	(k,)
	—	0	+	0	—
	↘	0	↗		↘

所以，的单调递减区间是（）和；单调增区间是
（2）当k>0时，因为，所以不会有
当k<0时，由（Ⅰ）知在（0，+）上的最大值是
所以等价于
解得.
故当时，k的取值范围是
点评：导数是研究函数性质的有力工具，研究函数时，首先要看函数的定义域，求单调区间、极值、最值时，往往离不开分类讨论，主要考查学生的分类讨论思想的应用和运算求解能力.