Question

已知函数.
（Ⅰ）当时，讨论的单调性；
（Ⅱ）设时，若对任意，存在，使，求实数的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）当时，函数在（０，１）上单调递减；
函数在（１，＋∞）上单调递增；
当时，函数在（0，+∞）上单调递减；
当时，函数在（0，1）上单调递减； 
函数在上单调递增；
函数上单调递减，
（Ⅱ）

试题分析：（Ⅰ）因为
所以
令
（1）当
所以，当，函数单调递减；
当时，，此时单调递
（2）当
即，解得
①当时，恒成立，
此时，函数在（0，+∞）上单调递减；
②当
时，单调递减；
时，单调递增；
，此时，函数单调递减；
③当时，由于
时，，此时，函数单调递减；
时，，此时，函数单调递增。
综上所述：
当时，函数在（０，１）上单调递减；
函数在（１，＋∞）上单调递增；
当时，函数在（0，+∞）上单调递减；
当时，函数在（0，1）上单调递减； 
函数在上单调递增；
函数上单调递减，
（Ⅱ）因为，由（Ⅰ）知，
，当，
函数单调递减；当时，
函数单调递增，所以在（0，2）上的最小值为
由于“对任意，存在，使”等价于
“在[1，2]上的最小值不大于在（0，2）上的最小值” （*）
又，所以
①当时，因为，此时与（*）矛盾；
②当时，因为，同样与（*）矛盾；
③当时，因为
解不等式，可得
综上，的取值范围是
点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，恒成立问题，往往通过“分离参数”，转化成求函数的最值。涉及对数函数，要特别注意函数的定义域。