Question

7．设向量$\overrightarrow{α}$=（1，cos²θ-sin²θ），$\overrightarrow{b}$=（2，1），$\overrightarrow{c}$=（$4cos（\frac{π}{2}-θ）$，1），$\overrightarrow{d}$=（$\frac{1}{2}cos（\frac{3π}{2}+θ），1$）其中$θ∈（0，\frac{π}{4}）$．
（1）求$\overrightarrow{α}•\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}•\overrightarrow{d}$的取值范围．
（2）若函数f（x）=|x-1|，比较f（$\overrightarrow{α}•\overrightarrow{b}$）与f（$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{d}$）的大小．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量的数量积与三角函数的运算性质，计算$\overrightarrow{α}•\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}•\overrightarrow{d}$的值即可；
（2）求出f（$\overrightarrow{α}•\overrightarrow{b}$）与f（$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{d}$），利用作差法比较f（$\overrightarrow{α}•\overrightarrow{b}$）与f（$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{d}$）的大小．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{α}$=（1，cos²θ-sin²θ），$\overrightarrow{b}$=（2，1），
∴$\overrightarrow{α}$•$\overrightarrow{b}$=2+cos²θ-sin²θ=2+cos2θ，
∵$\overrightarrow{c}$=（$4cos（\frac{π}{2}-θ）$，1），$\overrightarrow{d}$=（$\frac{1}{2}cos（\frac{3π}{2}+θ），1$），
∴$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{d}$=2cos（$\frac{π}{2}$-θ）cos（$\frac{3π}{2}$+θ）+1=-2sinθsinθ+1=cos2θ；
∴$\overrightarrow{α}•\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}•\overrightarrow{d}$=（2+cos2θ）-cos2θ=2；
（2）∵函数f（x）=|x-1|，
∴f（$\overrightarrow{α}•\overrightarrow{b}$）=|2+cos2θ-1|=|1+cos2θ|=1+cos2θ，
f（$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{d}$）=|cos2θ-1|=1-cos2θ，
∴f（$\overrightarrow{α}•\overrightarrow{b}$）-f（$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{d}$）=（1+cos2θ）-（1-cos2θ）=2cos2θ；
又$θ∈（0，\frac{π}{4}）$，
∴2θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴cos2θ＞0，
∴f（$\overrightarrow{α}•\overrightarrow{b}$）＞f（$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{d}$）．

点评 本题考查了平面向量的数量积与三角函数的运算问题，也考查了利用作差法比较大小的应用问题，是综合性题目．