Question

4．正三棱锥V-ABC的底面边长为2，E，F，G，H分别是VA，VB，BC，AC的中点，则四边形EFGH的面积的取值范围是（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 推导出EF=HG=1，EFGH是平行四边形，当V点在ABC平面时，VA=VB=VC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，此时EH，FG有最小值，由此能求出四边形EFGH的面积的取值范围．

解答 解：由条件可知：EF=HG=1，EFGH是平行四边形
因为正三棱锥V-ABC，所以EFGH是矩形而EH，FG，是变量，
当V点在ABC平面时，VA=VB=VC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
此时EH，FG有最小值，EH=FG=$\frac{1}{2}$VA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
EFGH的面积为：EF•EH=1×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴四边形EFGH的面积的取值范围是（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）．
故答案为：（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）．

点评 本题考查四边形的面积的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．