Question

已知点A（2，8），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）在抛物线上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）

（1）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；

（2）求线段BC中点M的坐标；

（3）求BC所在直线的方程.

Answer 1

（1）抛物线方程为，焦点F的坐标为（8，0）

（2）点M的坐标为（11，－4）．  

（3）BC所在直线的方程为：

解析:

（1）由点A（2，8）在抛物线上，有，

解得p=16. 所以抛物线方程为，焦点F的坐标为（8，0）.      

（2）如图，由于F（8，0）是△ABC的重心，M是BC的中点，

所以F是线段AM的定比分点，且，

设点M的坐标为，

则，解得，

所以点M的坐标为（11，－4）．                                     

（3）由于线段BC的中点M不在x轴上，

所以BC所在的直线不垂直于x轴.

设BC所在直线的方程为：

由消x得，

所以，由（2）的结论得，解得

因此BC所在直线的方程为：