Question

已知点A（2，8），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）在抛物线y²=2px上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）
（Ⅰ）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；
（Ⅱ）求线段BC中点M的坐标
（Ⅲ）求BC所在直线的方程．

Answer 1

分析：（1）由点A（2，8）在抛物线y²=2px上，将A点坐标代入，易求出参数p的值，代入即得抛物线的方程和焦点F的坐标；
（2）又由，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合，由重心坐标公式，易得线段BC中点M的坐标；
（3）设出过BC中点M的直线方程，根据联立方程、设而不求、余弦定理易构造关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，进而可以得到直线的方程．

解答：解：（I）由点A（2，8）在抛物线y²=2px上，有8²=2p•2解得p=16
所以抛物线方程为y²=32x，焦点F的坐标为（8，0）

（II）如图，由F（8，0）是△ABC的重心，M是BC的中点，AM是BC上的中线，由重心的性质可得

AF

FM

=2；
设点M的坐标为（x₀，y₀），则

2+2x0

1+2

=8，

8+2y0

1+2

=0解得x₀=11，y₀=-4所以点M的坐标为（11，-4）

（III）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴．
设BC所成直线的方程为y+4=k（x-11）（k≠0）
由

y+4=k(x-11) y2=32x

消x得ky²-32y-32（11k+4）=0
所以y1+y2=

32

k

由（II）的结论得

y1+y2

2

=-4解得k=-4
因此BC所在直线的方程为y+4=-4（x-11）即4x+y-40=0．

点评：本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力．