Question

已知点A（2，8），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）在抛物线上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）

（1）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；

（2）求线段BC中点M的坐标；

（3）求BC所在直线的方程.

 

Answer 1

【答案】

（1）抛物线方程为，焦点F的坐标为（8，0）。.

（2）M的坐标为（11，－4）。

（3）BC所在直线的方程为： 

【解析】（1）由点A（2，8）在抛物线上，有，

解得p=16. 所以抛物线方程为，焦点F的坐标为（8，0）.

（2）如图：

由于F（8，0）是△ABC的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的定比分点，且，设点M的坐标为，则，解得，所以点M的坐标为（11，－4）．

（3）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴.设BC所在直线的方程为：

由消x得，

所以，由（2）的结论得，解得

因此BC所在直线的方程为：

考点：直线与抛物线相交问题、重心定理

点评：本题是一个综合问题，（1）比较基础，考查了抛物线的方程的求法；（2）主要利用重心定理和线段的定比分点来解决；（3）考查了抛物线的交线方程的求法，注意应用设而不解整体代入的思想来求斜率的值。