Question

关于函数f(x)=

1

tan2x+cot2x

，有下列命题：①周期是

π

2

；②y=f（x）的图象关于直线x=-

π

8

对称；③y=f（x）的图象关于点（

π

4

，0）对称；④在区间[-

π

8

，

π

8

]上单调递减．其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

分析：利用角三角函数的基本关系，以及二倍角公式，把 函数f（x） 的解析式化为

1

2

 sin4x，根据正弦函数的周期性、
对称性、单调性，判断各个选项的正确性．

解答：解：函数f（x）=

1

tan2x+cot2x

=

1

sin2x cos2x + cos2x sin2x

=sin2xcos2x=

1

2

 sin4x．
函数的周期为

2π

4

=

π

2

，故①正确．
又因为 x=-

π

8

时，函数f（x）取得最小值-

1

2

，故y=f（x）的图象关于直线x=-

π

8

对称，故②正确．
当x=

π

4

 时，y=f（x）=0，故点（

π

4

，0）是函数图象与x轴的交点，故；③y=f（x）的图象关于点（

π

4

，0）对称正确
当 x∈[-

π

8

，

π

8

] 时，-

π

2

≤4x≤

π

2

，

1

2

 sin4x 是增函数，故④不正确．
故答案为：①②③．

点评：本题考查同角三角函数的基本关系，以及二倍角公式的应用，正弦函数的周期性、对称性、单调性，把 函数f（x） 的解析式化为

1

2

 sin4x，是解题的关键．