Question

关于函数f(x)=1-

1

2

cos2x-(

1

2

)|x|，有下面四个结论：①f（x）是偶函数；②当x＞2010时，f(x)＞

1

2

恒成立；③f（x）的最大值是

3

2

；④f（x）的最小值是-

1

2

．其中正确结论的序号是

①④

．

Answer 1

分析：根据题意：依次分析命题：①运用f（-x）和f（x）关系，判定函数的奇偶性；②取特殊值法，判定不等式是否成立；③④利用cos2x和（

1

2

）^|x|，求函数f（x）的最值，综合可得答案．

解答：解：y=f（x）的定义域为x∈R，且f（-x）=f（x），则函数f（x）为偶函数，因此结论①正确．
对于结论②，取特殊值当x=1000π时，x＞2010，

1

2

cos2x=

1

2

，且（

1

2

）^1000π＞0
∴f（1000π）=

1

2

-（

1

2

）^1000π＜

1

2

，因此结论②错．
又f(x)=1-

1

2

cos2x-(

1

2

)|x|，-1≤cos2x≤1，
∴-

1

2

≤1-

1

2

cos2x≤

3

2

，（

1

2

）^|x|＞0
故1-

1

2

cos2x-（

1

2

）^|x|＜

3

2

，即结论③错．
而cos2x，（

1

2

）^|x|在x=0时同时取得最大值，
所以f（x）=1-

1

2

cos2x-（

1

2

）^|x|在x=0时可取得最小值-

1

2

，即结论④是正确的．
故答案为：①④

点评：此题涉及到函数奇偶性的判断，同时还涉及到三角函数、指数函数的范围问题，利用不等式的放缩求新函数的范围．此题考查了函数奇偶性的判断及借助不等式知识对函数值域范围进行判断．