Question

2．已知a＞0，函数f（x）=ln（2-x）+ax．
（Ⅰ）设曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）求函数f（x）在[0，1]上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件可得a=1；
（Ⅱ）求出函数的导数，由a＞0，由导数大于0求得增区间，导数小于0，可得减区间；
（Ⅲ）对a讨论，当2-$\frac{1}{a}$≤0，当0＜2-$\frac{1}{a}$＜1，判断函数的单调性，即可得到最小值．

解答 解：（Ⅰ）依题意有x＜2，f（x）的导数为f′（x）=a+$\frac{1}{x-2}$，
在点（1，f（1））处的切线斜率为a-1，
由已知可得，a-1=0，即a=1；
（Ⅱ）f′（x）=a+$\frac{1}{x-2}$=a[x-（2-$\frac{1}{a}$）]•$\frac{1}{x-2}$，
当a＞0时，2-$\frac{1}{a}$＜2，
令f′（x）＞0，解得x＜2-$\frac{1}{a}$，令f′（x）＜0，解得2-$\frac{1}{a}$＜x＜2，
所以f（x）的增区间为（-∞，2-$\frac{1}{a}$），减区间是（2-$\frac{1}{a}$，2）；
（Ⅲ）当2-$\frac{1}{a}$≤0，即0＜a≤$\frac{1}{2}$时，f（x）在[0，1]上是减函数，
所以f（x）的最小值为f（1）=a；
当0＜2-$\frac{1}{a}$＜1即$\frac{1}{2}$＜a＜1时，
f（x）在（0，2-$\frac{1}{a}$）上是增函数，在（2-$\frac{1}{a}$，1）是减函数，
所以需要比较f（0）=ln2和f（1）=a两个值的大小，
因为${e}^{\frac{1}{2}}$＜${3}^{\frac{1}{2}}$＜2＜e，所以$\frac{1}{2}$＜ln$\sqrt{3}$＜ln2＜lne=1，
∴当$\frac{1}{2}$＜a＜ln2时最小值为a，当ln2≤a＜1时，最小值为ln2，
当2-$\frac{1}{a}$≥1，即a≥1时，f（x）在[0，1]上是增函数，所以最小值为ln2．
综上，当0＜a＜ln2时，f（x）为最小值为a；
当a≥ln2时，f（x）的最小值为ln2．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，考查函数的最值的求法，注意运用函数的单调性和分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．