Question

已知向量

m

=（

3

sin2x+2，cosx），

n

=（1，2cosx），设函数f（x）=

m

•

n

，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期与最大值；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f（A）=4，b=1，△ABC的面积为

3

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）把向量的坐标代入数量积公式，先降幂再化积，化为y=Asin（ωx+φ）+k型的函数后可求最小正周期和最大值；
（2）把f（A）=4代入（1）中的表达式后求解A的值，再由b=1，△ABC的面积为

3

2

列式求得c的值，最后由余弦定理求得a的值．

解答：解：（1）由向量

m

=（

3

sin2x+2，cosx），

n

=（1，2cosx），则
f（x）=

m

•

n

=

3

sin2x+2+2cos2x
=

3

sin2x+cos2x+3
=2sin(2x+

π

6

)+3．
∴f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π，
f（x）的最大值为5；
（2）由f（A）=4，得2sin(2A+

π

6

)+3=4，即sin(2A+

π

6

)=

1

2

，
∵0＜A＜π，∴2A+

π

6

=

5π

6

，
∴A=

π

3

．
又

1

2

bcsinA=

3

2

，即

1

2

×1×

3

2

c=

3

2

，
∴c=2．
由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccosA=1+4-2×1×2×

1

2

=3．
∴a=

3

．

点评：本题考查了平面向量的数量积运算，考查了三角函数的周期及最值的求法，训练了利用正弦定理和余弦定理求解三角形，是中档题．