题目内容
已知向量
=（2cos2x，sinx），
=（1，2cosx）．
（I）若
⊥
且0＜x＜π，试求x的值；
（II）设f（x）=
•
，试求f（x）的对称轴方程和对称中心．
| m |
| n |
（I）若
| m |
| n |
（II）设f（x）=
| m |
| n |
分析：（Ⅰ）由
⊥
可得
sin（2x+
）+1=0，又0＜x＜π，从而可求得x的值；
（Ⅱ）由f（x）=
sin（2x+
）+1，由2x+
=kπ+
，k∈Z，可求得其对称轴方程；由2x+
=kπ，k∈Z，可求其对称中心的横坐标，继而可得答案．
| m |
| n |
| 2 |
| π |
| 4 |
（Ⅱ）由f（x）=
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
解答：解：（I）∵
⊥
．
∴
•
=2cos2x+2sinxcosx…（2分）
=cos2x+sin2x+1
=
sin（2x+
）+1
=0，…（4分）
∵0＜x＜π，
∴2x+
∈（
，
），
∴2x+
=
或
，
∴x=
或
．…（6分）
（II）∵f（x）=
sin（2x+
）+1，
令2x+
=kπ+
，k∈Z，可得x=
+
，k∈Z，
∴对称轴方程为x=
+
，k∈Z，…（9分）
令2x+
=kπ，k∈Z，可得x=
-
，k∈Z，
∴对称中心为（
-
，1）k∈Z，…（12分）
| m |
| n |
∴
| m |
| n |
=cos2x+sin2x+1
=
| 2 |
| π |
| 4 |
=0，…（4分）
∵0＜x＜π，
∴2x+
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 9π |
| 4 |
∴2x+
| π |
| 4 |
| 5π |
| 4 |
| 7π |
| 4 |
∴x=
| π |
| 2 |
| 3π |
| 4 |
（II）∵f（x）=
| 2 |
| π |
| 4 |
令2x+
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| kπ |
| 2 |
| π |
| 8 |
∴对称轴方程为x=
| kπ |
| 2 |
| π |
| 8 |
令2x+
| π |
| 4 |
| kπ |
| 2 |
| π |
| 8 |
∴对称中心为（
| kπ |
| 2 |
| π |
| 8 |
点评：本题考查三角函数中的恒等变换，考查向量的坐标运算，考查正弦函数的对称轴与对称中心，掌握向量的坐标运算公式与正弦函数的性质是根本，属于中档题．
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