题目内容

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B=C，2b=
3
a．
（1）求cosA的值；
（2）cos(2A+
π
4
)的值．
（3）若已知向量
m
=（
3
cos
x
4
，cos
x
4
），
n
=（sin
x
4
，cos
x
4
）．若
m
•
n
=
2+
2
4
，求sin（
7π
6
-x）的值．
分析：（1）直接利用已知条件以及余弦定理，求cosA的值；
（2）利用（1）的结果，求出sinA，通过二倍角公式求出cos2A，sin2A，利用两角和的余弦函数直接求解cos(2A+
π
4
)的值．
（3）通过向量
m
=（
3
cos
x
4
，cos
x
4
），
n
=（sin
x
4
，cos
x
4
）．利用
m
•
n
=
2+
2
4
，求出
x
2
+
π
6
的正弦函数值，利用诱导公式以及二倍角的余弦函数直接求解sin（
7π
6
-x）的值．
解答：解：（1）由B=C，2b=
3
a可得c=b=
3
2
a，
所以cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
3
4
a2+
3
4
a2-a2
2×
3
2
a×
3
2
a
=
1
3
．
（2）因为cosA=
1
3
，a∈（0，π），所以sinA=
1-cos2A
=
2
2
3
，
cos2A=2cos2A-1=-
7
9
，故sin2A=2sinAcosA=
4
2
9
，
∴cos(2A+
π
4
)=cos2Acos
π
4
-sin2Asin
π
4
=-
7
9
×
2
2
-
4
2
9
×
2
2
=-
8+7
2
18
，
（3）向量
m
=（
3
cos
x
4
，cos
x
4
），
n
=（sin
x
4
，cos
x
4
）．
m
•
n
=
2+
2
4
，（
3
cos
x
4
，cos
x
4
）•（sin
x
4
，cos
x
4
）=
2+
2
4
．
可得sin（
x
2
+
π
6
）=
2
4
，
sin（
7π
6
-x）=-cos2（
x
2
+
π
6
）=2sin2（
x
2
+
π
6
）-1=
3
4
．
点评：本题考查余弦定理，同角三角函数的基本关系式，二倍角公式的应用，考查计算能力与转化思想的应用．
练习册系列答案
相关题目
（2012•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a=2，c=
2
，cosA=-
2
4
．
（1）求sinC和b的值；
（2）求cos（2A+
π
3
）的值．
在△ABC中，内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，已知a2-c2=b，且sinAcosC=3cosAsinC，则b=
2
2
．
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b是方程x2-2
3
x+2=0的两根，2cos（A+B）=1，则△ABC的面积为（　　）
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知A=45°，a=6，b=3
2
，则B的大小为（　　）
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知B=60°，不等式x2-4x+1＜0的解集为{x|a＜x＜c}，则b=
13
13
．

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