Question

【题目】已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），过F2作垂直于x轴的直线l交椭圆C于A、B两点，满足|AF2|=c．

（1）椭圆C的离心率；

（2）M、N是椭圆C短轴的两个端点，设点P是椭圆C上一点（异于椭圆C的顶点），直线MP、NP分别和x轴相交于R、Q两点，O为坐标原点，若|OR||OQ|=4，求椭圆C的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

试题（Ⅰ）法一：把点横坐标代入椭圆求得，从而得到的关系式，进而求得离心率；法二：直角中，由勾股定理得到的关系式，从而求得离心率；（Ⅱ）设，则由、的方程中分别令得到与点横坐标，从而由求得的值，进而求出值，得到椭圆方程．

试题解析：（Ⅰ）法一：点横坐标为，代入椭圆得，

解得，∴．

即，设，∴，解得．

法二：直角中，，

∴由勾股定理得，即，

∴，∴，即

（Ⅱ）设，

则方程为，令得到点横坐标为；

方程为，令得到点横坐标为；

∴,∴椭圆的方程为．