Question

7．已知α∈（0，π），tan（$α-\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{3}$，则sin（$\frac{π}{4}+α$）=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

Answer 1

分析 由已知利用两角差的正切函数公式可求tanα的值，利用同角三角函数基本关系式可求cosα，sinα的值，进而利用两角和的正弦函数公式即可计算得解．

解答 解：∵α∈（0，π），tan（$α-\frac{π}{4}$）=$\frac{tanα-1}{1+tanα}$=$\frac{1}{3}$，解得：tanα=2，
∴可得：α∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴cosα=$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}α}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴sin（$\frac{π}{4}+α$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{5}}{5}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题主要考查了两角差的正切函数公式，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．